Essays

De vierde dimensie en de platworm-metafoor

Home - Columns - Politiek en maatschappij - Filosofie en psychologie - Wetenschap - Cursussen - Computer - Diversen | Printversie

(nautische historie zeiltijd - historie stoomtijd - zeilcursus - motorbootcursus - evolutieleer - evolutie mens - groepsgedrag)



(Royal No.10 ©Schrijf.be copywriting)


Het idee van een twee-dimensionale wereld lijkt op "Flatland" van Edwin Abbott (1884),
maar daarmee houdt dan ook elke gelijkenis op.

Een wereld met meer dan drie ruimtelijke dimensies is zo bizar dat die ons voorstellingsvermogen te boven gaat. Toch hoeven wij geen wetenschapper te zijn om het een beetje te begrijpen want wij beschikken over een krachtig werktuig om onze fantasie op weg te helpen. Wij kunnen ons die vreemde wereld namelijk verbeelden met behulp van een metafoor, die van de platworm. De twee-dimensionale wereld van de platworm is een wereld die alleen lengte en breedte kent. Begrijpen wij de problemen die de platworm heeft met zijn derde dimensie, dan helpt dat ons wellicht onze vierde te begrijpen. En realiseert u zich dat die vierde ruimtelijke dimensie inmiddels geen science fiction meer is, maar keiharde fysica waaraan nuchtere wiskundigen al decennia zitten te rekenen. Maar u kunt gerust zijn, want verder dan in hun formules en mogelijk ooit in één of andere exotische high-tech toepassing zal het onze belevingswereld voorlopig niet binnendringen. Overigens is een platworm-wereld een wat slordig concept, want zelfs één enkele atoom heeft nog dikte. In een echte twee-dimensionale zijn fysieke objecten met massa (immers dikte) dus ondenkbaar. Een twee-dimensionale wereld kan slechts bestaan uit energie en heeft zo zijn eigen natuurwetten omdat er letterlijk geen ruimte is voor de ons bekende wetten voor massa en volume. Het gedachten-experiment met de platworm is dan ook theoretisch onjuist, maar daar is het een metafoor voor... Wel, daar gaat hij dan: De platworm leeft in een twee-dimensionale wereld, vergelijkbaar met een stuk papier, en vraagt ons hem dan nu maar eens die derde dimensie te tonen waarover wij hem zo aan zijn kop blijven zeuren. "Goed", zeggen wij hem, "trek een willekeurige rechte lijn op je papieren wereld en trek daarna een lijn die daar loodrecht op staat". "Heb ik" zegt de platworm. "Goed, denk je dan nu een derde lijn in loodrecht op die twee andere". De platworm kijkt ons mismoedig aan, maar terwijl wij hem geruststellen zien wij nu wel in waarom wij zelf zo'n moeite hebben met een vierde ruimtelijke dimensie. Volgens de algemene relativiteitstheorie wordt onze ruimte door gravitatiekrachten in een vierde dimensie gekromd. Nou, laten wij dat dan ook maar eens met de wereld van de platworm doen door zijn papierwereld te buigen. Merkt hij niets van, want hij ziet immers maar in de twee dimensies van het papier. Buig je het papier zover dat de uiteinden elkaar bijna raken, dan blijken twee voor de platworm ver uiteengelegen plaatsen door de ruimte heen eigenlijk heel dicht bij elkaar te liggen. Zullen wij ooit op die manier grote afstanden gaan afleggen door in een vierde ruimtelijke dimensie langs een veel kortere route te reizen? Om de verwarring nog wat te vergroten steken wij nu een potlood door beide uiteinden van het ge- bogen stuk papier. Onze platworm zal nooit kunnen begrijpen dat die twee ronde velden aan de uiteinden van de hem bekende papier-wereld eigenlijk tot één voorwerp behoren. Laat staan dat hij zich een voorstelling kan maken van het hele potlood. Als wij daarna het papier zover buigen dat de uiteinden elkaar raken, is de platworm op die plek zelfs op twee plaatsen tegelijk! En dat zijn plaatsen die in zijn wereld toch ver uiteenliggen. Onze fascinatie voor het oneindige is ook onze platworm niet vreemd. Laten wij hem daarom maar eens op een bol zetten. Hoe ver hij ook gaat of kijkt, er komt geen einde aan en zijn wereld lijkt onbegrensd, hoewel hij na een poosje begint te mopperen dat hij hier toch al eens eerder geweest is. Geven wij hem een potje twee-dimensionale verf, dan blijkt hij daar gemakkelijk zijn hele universum mee te kunnen volkalken. Zijn wereld mag dan onbegrensd zijn doordat hij in zichzelf gekromd is, hij is blijkbaar wel eindig. Volgens bepaalde inzichten zouden ook wij in een positief gekromd heelal leven, waarmee wordt be- doeld dat een voor ons gevoel in een rechte baan reizend ruimteschip door de kromming van onze ruimte-tijdooit vanaf de andere kant weer in zijn uitgangspunt zal terugkeren. Dit is echter speculatief. Deze alinea is even voor beta's onder elkaar, want nu wij de platworm zo op die bol zien zitten, is het aardig op te merken dat onze vlakke meetkunde in zijn gekromde twee-dimensionale wereld niet werkt. De som van de hoeken van een driehoek is in onze vlakke meetkunde 180°, maar voor een op een bol levende platworm is die som groter omdat zijn begrip van "vlak" zich voor ons op een bol afspeelt en dan blijkt zijn vlakke meetkunde voor ons stereometrie te zijn. Stel je maar eens zijn driehoek voor met de basis langs de evenaar, de top aan de pool en alle hoeken 90°. Onze vlakke meetkunde geldt alleen voor het snijvlak (het vlak waarin de drie hoekpunten liggen en dat de bol snijdt). Overigens is de constante "pi" (= cirkelomtrek gedeeld door de middenlijn) bij hem kleiner dan bij ons omdat ook hier geldt dat wat bij hem vlakke meetkunde is, bij ons onder stereometrie valt. En dan is bij een gegeven cirkel zijn middellijn langer dan de onze die immers in het snijvlak ligt. Maar ja, voor wie het nu al duizelt, hoe zal de platworm zich dan wel niet voelen. Wat merkt de platworm verder van de kromming van zijn twee-dimensionale universum? Wel, als wij hem een bowlingbal geven, zal die zonder dat hij het merkt een kuil in zijn papierwereld drukken. Laten wij daarna een klein balletje langs de bowlingbal rollen, dan wordt het de kuil in ge- trokken. Het balletje ondergaat daardoor een afwijking in zijn baan en komt mogelijk zelfs als een satelliet in een omloopbaan terecht. Voor de platworm lijkt het of de twee ronde velden (want dat is wat hij van de twee ballen ziet) elkaar aantrekken. In werkelijkheid reageert het balletje op het gravitatieveld van de aarde, een object buiten zijn papieren wereld en dus in een voor hem onzichtbare dimensie. Dit gaat onze platworm te ver. Tijd dus voor een eenvoudiger voorbeeld. Wij buigen daartoe zijn wereld tot een golfplaat en laten hem weten dat wij er in onze drie-dimen- sionele wereld een balletje in een rechte lijn en met constante snelheid overheen laten vliegen. De platworm ziet alleen de schaduw die het balletje op zijn twee-dimensionale wereld werpt. En die heeft bovendien helemaal geen constante snelheid, maar toont een opeenvolging van versnellingen en vertragingen. Gelukkig maar dat hij het balletje zelf niet kan zien, want dan zou hij moeten constateren dat het balletje ook niet in een rechte lijn over zijn wereld vliegt, maar golvend op en neer beweegt, en ook nog eens onder een steeds wisselende hoek. "En parallelwerelden dan?" vraagt de inmiddels wanhopige platworm ons. Die zijn voor ons natuurlijk ook een probleem, maar wij gaan proberen het hem als volgt te tonen. Wij snijden zijn wereld (inclusief hemzelf) met een laser in twee lagen die daardoor boven elkaar komen te liggen en dus niet voor elkaar zichtbaar zijn omdat zij in de derde dimensie verschoven liggen (ik weet het, 't kan niet, maar het blijft een metafoor, toch?). Deze werelden zijn tot het moment van hun scheiding nog identiek, maar zullen daarna elk een eigen leven gaan leiden. Wij kunnen zijn universum natuurlijk ook splijten door het papier eenvoudig in tweeën te scheuren. Maar daarmee suggereren wij voor de platworm de totale vernietiging van de helft van zijn wereld. Mocht onze platworm zich nu in verwarring willen verschuilen achter een scheurtje in het papier, helaas...
Naar boven Meer essays


# menno kater - De vierde dimensie en de platworm-metafoor
Advertenties