Printversie
Andere artikelen van deze auteur
Een wereld met meer dan drie ruimtelijke dimensies is zo bizar dat zij ons voorstellingsvermogen
te boven gaat. Toch zijn wij daarom nog niet louter aangewezen op de koele abstractie van de wis-
kunde, want wij beschikken over een krachtig werktuig om onze te kort schietende fantasie op weg te
helpen. Wij kunnen ons die vreemde wereld namelijk verbeelden met behulp van een metafoor.
Laat ons daarvoor eens kijken naar de twee-dimensionale wereld van de "platworm", een wereld met
alleen lengte en breedte. Begrijpen wij de problemen die de platworm heeft met zijn derde dimensie,
dan helpt dat ons bij ons begrip voor de vierde.
En realiseert u zich dat een voor ons onzichtbare extra dimensie inmiddels geen science fiction meer
is, maar keiharde fysica waar nuchtere wiskundigen al decennia aan zitten te rekenen. U kunt echter
gerust zijn, want verder dan in onze formules en mogelijk ooit in één of andere exotische high-tech
toepassing zal het onze belevingswereld niet binnendringen.
Overigens kunnen wij ons een twee-dimensionale wereld natuurlijk net zo min voorstellen als een
vier-dimensionale. Want waar zelfs één enkele atoom nog dikte heeft, zijn fysieke objecten met massa
ondenkbaar. De twee-dimensionale wereld van de platworm kan dus slechts bestaan uit energetische
straling en heeft haar eigen natuurwetten omdat er letterlijk geen ruimte is voor aan drie dimensies
gebonden wetten voor volume en massa.
Diverse aspecten in het volgende gedachtenexperiment zijn dan ook theoretisch onjuist, maar daar is
het een metafoor voor...
Wel, daar gaat hij dan:
De platworm leeft in een twee-dimensionale wereld, vergelijkbaar met een stuk papier, en vraagt ons
hem dan nu maar eens die derde dimensie te tonen waarover wij hem zo aan zijn kop blijven zeuren.
"Goed", zeggen wij hem, "trek een willekeurige rechte lijn op je papieren wereld en trek daarna een lijn
die daar loodrecht op staat. Heb je dat, denk dan een derde lijn loodrecht op de twee andere lijnen".
De platworm kijkt ons radeloos aan, en terwijl wij hem geruststellen zien wij de aard van onze eigen
tekortkomingen gevisualiseerd in ons beider wereldbeeld.
Volgens Einstein wordt onze ruimte door gravitatiekrachten in een vierde dimensie gekromd.
Wij kunnen de wereld van de platworm vergelijkbaar laten krommen door zijn papierwereld te buigen
zonder dat de platworm zich daarvan bewust is. Buig je het papier zover dat de uiteinden elkaar bijna
raken, dan blijken twee voor de platworm ver uiteengelegen plaatsen door de ruimte heen eigenlijk
heel dicht bij elkaar te liggen.
Zullen wij ooit leren op dergelijke wijze grote afstanden af te leggen langs een veel kortere vierde
ruimtelijke dimensie?
Om de verwarring nog wat te vergroten steken wij nu een potlood door beide uiteinden van het ge-
bogen stuk papier. De platworm zal nooit kunnen begrijpen dat de voor hem zichtbare plakken ervan
(want dat is alles wat hij van het potlood ziet) tot één voorwerp behoren. Laat staan dat hij zich een
voorstelling kan maken van de vorm van het drie-dimensionale potlood.
Als wij vervolgens het papier zover buigen dat de uiteinden elkaar gaan raken, bevindt de platworm
zich ter plaatse van dat contactpunt zelfs op twee plaatsen tegelijk! Plaatsen die in zijn wereld toch ver
uiteenliggen.
Ook de magie van de oneindigheid blijkt onze platworm te interesseren. Wij besluiten hem daarom op
een bol te plaatsen.
Hoe ver hij ook gaat, zijn wereld blijkt onbegrensd, hoewel hij na een poosje begint te mopperen dat
het hier toch al eens eerder geweest is. Dat komt doordat zijn wereld eindig is, en dat tonen wij hem
door hem een twee-dimensionaal potje verf aan te bieden en hem op te dragen daarmee zijn wereld
te verven. Hij blijkt zijn hele universum met één potje te kunnen volkalken.
Zijn universum is onbegrensd doordat het in zichzelf gekromd is, en blijkt tegelijkertijd eindig. Volgens
bepaalde inzichten zouden ook wij in een positief gekromd heelal leven, wat impliceert dat de krom-
ming in de ruimtetijd zodanig is dat een in een rechte baan lopend lichaam of een lichtstraal in zijn
uitgangspunt zal terugkeren. Dit is echter speculatief.
Nu hij toch op die bol zit, is het aardig op te merken dat onze "3D vlakke meetkunde" in zijn twee-
dimensionale wereld niet werkt. De som van de hoeken van een door hem op de bol getekende
driehoek is voor hem groter dan 180°. Denk daarbij aan een driehoek waarvan alle hoeken 90° zijn,
met de basis langs de evenaar en de top aan de pool. Twee van die loodrecht op elkaar getrokken
lijnen snijden elkaar elders in zijn wereld overigens nog eens. Zo is ook de verhouding van omtrek en
diameter van een getrokken cirkel (pi) voor hem kleiner dan 3,14 omdat de middellijn in zijn wereld
langer is.
Wat merkt de platworm verder van de kromming van zijn twee-dimensionale universum?
Wel, als wij hem een bowlingbal geven, zal die zonder dat hij het merkt een kuil in zijn papierwereld
drukken. Laten wij daarna een klein balletje langs de bowlingbal rollen, dan wordt het de kuil in ge-
trokken. Het balletje ondergaat daardoor een afwijking in zijn baan en komt mogelijk zelfs als een
satelliet in een omloopbaan terecht.
Voor de platworm lijkt het of de twee oppervlak-fragmenten (want dat is wat hij van de twee ballen ziet)
elkaar aantrekken. In werkelijkheid reageert het balletje op het gravitatieveld van de aarde, een object
buiten zijn papieren wereld en dus in een voor hem onzichtbare dimensie.
Dit ging onze platworm te ver. Tijd dus voor een eenvoudiger voorbeeld.
Wij buigen daartoe zijn wereld tot een golfplaat en laten hem weten dat wij er in onze drie-dimen-
sionele wereld een balletje in een rechte lijn en met constante snelheid overheen laten vliegen. De
platworm ziet alleen de schaduw die het balletje op zijn twee-dimensionale wereld werpt. En die heeft
bovendien helemaal geen constante snelheid, maar toont een opeenvolging van versnellingen en
vertragingen. Gelukkig maar dat hij het balletje zelf niet kan zien, want dan zou hij moeten constateren
dat het balletje ook niet in een rechte lijn over zijn wereld vliegt, maar golvend op en neer beweegt, en
ook nog eens onder een wisselende hoek.
"En parallelwerelden dan?" vraagt de inmiddels wanhopige platworm ons.
Die zijn voor ons natuurlijk ook een probleem, maar wij gaan proberen het hem als volgt te tonen. Wij
snijden zijn wereld (inclusief hemzelf) met een laser in twee lagen die daardoor boven elkaar komen te
liggen en dus niet voor elkaar zichtbaar zijn omdat zij in de derde dimensie verschoven liggen.
Deze werelden zijn op het moment van hun scheiding nog identiek, maar zullen daarna elk een eigen
leven gaan leiden.
Wij hadden zijn universum natuurlijk ook kunnen splijten door het papier eenvoudig in tweeën te
scheuren. Maar daarmee suggereren wij voor de platworm de totale vernietiging van de helft van zijn
wereld.
Mocht onze platworm zich nu in zijn verwarring willen verschuilen achter een scheurtje in het papier,
helaas...
Naar boven
Meer essays
mennokater - De platworm-metafoor
